Постојат бесконечно многу броеви, и бесконечно многу начини да се комбинираат и да се манипулира со тие бројки. Математичарите често ги објаснуваат броевите во една оска. Изберете точка од оската, а тоа претставува број.

Речиси сите броеви кои ги користиме се базираат на неколку исклучително важни бројки кои се во основата на целата математика. Она што следува се осумте броеви што всушност треба да ја изградат бројната оска, и да се направи тоа  квантитативно.



Нула

Нула претставува отсуство на нештата. Нула е исто така важен елемент и во нашиот броен систем. Ние користиме нула во случаеви кога пишуваме броеви со повеќе од еден број, и нула за да ја знаеме разликата меѓу 2 и 20 долари.

Нула како број само по себе е исто така многу важна во математиката. Нула е "додаток на идентитет", што значи дека во секое време се додава бројот нула, за да се добие тој број назад. Пример: 3 + 0 = 3

Ова својство на нулата е централниот аспект на аритметиката и алгебрата. Нула е во средината на линија со бројот, одвојување на позитивни од негативни броеви, и според тоа, е почетна точка за градење на нашиот броен систем.

Еден

Како што нулата беше додаток на идентитет, бројот еден е мултипликативен идентитет. Земете било кој број и множете го него со еден, и ќе го добиете тој број назад. Пример: 5 x 1 e пет.

Само со користење на еден, ние може да почнеме да градиме линија на бројот. Конкретно, ние може да го користиме еден за да ги добиеме природните броеви: 0, 1, 2, 3, 4, 5, и така натаму. Потоа да продолжиме со додавањето на еден за да се добијат овие други броеви: 2 =(1 + 1), 3 = 1 +2, 4 = 1 + 3, и ние продолжуваме така до бесконечност.

Природните броеви се нашите најосновни броеви. Ние ги користите за да ги броиме работите. Исто така може да се направи аритметика со природните броеви: ако додадаме или множиме заедно било кои два природни броеви, да се добие уште еден природен број.

Понекогаш, но не секогаш, може да се одземат два природни броеви, или да се дели еден природен број од друг. Пример: 10-6 = 4 и 12 : 4 = 3. Само со користење на нула и еден, и со основните аритметички операции, ние веќе можеме да направиме добар износ на математика само со помош на природните броеви.

Негативен еден (или минус 1)

Не е секогаш можно да се одземат два природни броја и да се добие уште еден природен. Ако треба да се работи со сите овие броеви, немаме идеја како да ја анализираме изјавата како на пример: 3 - 8

Една од прекрасните работи кај математиката е дека, кога сме соочени со вакво ограничување, ние само можеме да го прошириме системот со кој работиме за да го отстраниме ограничувањето. За да се овозможи одземање, ние додадеме -1 во нашата растечка линија со броеви.

Минус еден ги носи со себе и сите други негативни броеви, бидејќи множење на позитивен број со минус еден дава негативна верзија на тој број. Пример: -3 е само -1 x 3. Со донесување на негативните броеви, го решаваме нашиот проблем со одземањето.

Пример: 3-8 е само -5. Составување на позитивни броеви, нула, со нашите нови негативни броеви, се добива цел број, и секогаш може да се одземат два цели броја еден од друг и да се добие цел број како резултат. Целите броеви обезбедуваат точки на сигурност на бројната оска.

Негативните броеви се корисни во претставувањето на дефицити. Ако јас и должам на банката 500 долари, можам да мислам на мојата банкарска рамнотежа како на минус 500.

Ние исто така користиме негативни броеви кога имаме некои намалени количини каде се можни вредности под нулата, како што е температурата. Во замрзнати подрачја секоја година може да имате зимски денови во опсег на пример од минус 20 степени.

Една десетина

Исто така, на целите броеви се сѐ уште аритметички нецелосни, а ние секогаш може да додадеме, одземеме, множиме или два цели броја и да добиеме уште еден број, но не секогаш може да се добие цел број со поделба на два цели броеви. Пример:  8 : 5 не прави никаква смисла, ако се што имаме се целите броеви.

За да се справи со ова, ние додадеме една десетина  или 0.1, на нашата бројна оска. Со 0,1, или на - 0.01, 0.001, 0.0001, и така натаму, сега ние може да објасниме дропки и децимали. Пример: 8 : 5 сега е само 1.6,а 5 е само 1.6.

Делењето на било кои два цели броеви (освен делење со нула) ни дава  децимален број, кој или ќе го доврши, како  1.6, или ина повторување на  цифрен, или модел на бројки: 1 ÷ 3 = 0,3333 ..., со 3 надвор до бесконечност.

Овие типови на децимали се рационални броеви, бидејќи можеме да ги формираме со преземање на фракции, или односи, на два цели броја. Рационалните броеви се аритметички затворени, што значи дека може да се земат било кои два рационални и да се додадат, одземаат, множат, или да се поделат, и да се врати назад уште еден рационален број.

Рационалните броеви ни овозможуваат да објасниме количини помеѓу целите броеви, или фракциони количини. На пример: aко три пријатели и јас делиме торта и ги поделиме парчињата рамномерно, секој од нас добива една четвртина или 0,25, или 25 проценти од колачот. Рационалните броеви ни помогнат да го пополниме празниот простор помеѓу броевите на бројна оска.

Квадратен корен од 2

Квадратен корен на еден број е вториот број кога е квадрат или се множи со себе, ни го дава оригиналниот број. Значи, квадратен корен од девет  е три, бидејќи 32 = 3 х 3 = 9. Ние може да најдеме квадратен корен од било кој позитивен број, но со само неколку исклучоци, овие квадратни корени се мешаат.

Квадратен корен од 2 е една таков неуреден број. Тоа е ирационален број, што значи дека децималната експанзија никогаш не престанува или се основа шема на повторување. Квадратен корен од 2 почнува со бројки 1,41421356237 ..., а потоа само оди во чудни и случајни насоки.

Излегува дека квадратниот корен од повеќето рационални броеви е ирационален. Исклучоците, како 9, се нарекуваат совршени квадрати. Квадратните корени се важни во алгебрата, како што фигурираат во решенијата на многу равенки. На пример, квадратен корен од 2 е решение на равенката x2 = 2

Со ставање на рационални и ирационални броеви заедно, се завршува бројната оска. Целиот спектар на рационални и ирационални броеви се нарекува реални броеви, а тоа се броеви што најчесто се користат во сите видови на пресметки.

Сега која ја завршивме нашата бројна оска, можеме да погледнеме неколку навистина важни ирационални броеви.

Пи

Пи односот на периметарот на секој круг, со дијаметар на кругот, е можеби најважниот број што се користи во геометријата. Пи се појавува и во секоја основна  формула вклучувајќи кругови или сфери, на пример, од областа на кругот, радиусот  е πr2, а обемот на сфера со радиус е (4/3) πr3.

Пи исто така, има значајно место во тригонометријата. 2 Пи е периодот од основните тригонометриски функции: синус и косинус. Ова значи дека функциите се повторуваат со секои 2 Пи единици.

Овие функции, а со тоа и Пи, се клучни за работа со било кој  периодичен или повторувачки процес, а особено опишувајќи работи како звучни бранови.

Како и квадратниот корен од 2, Пи е ирационален, што значи дека децималната експанзија никогаш не престанува или се повторува. Во првите неколку бројки на Пи се прилично добро познати: 3,14159 ...

Математичарите со користење на навистина големи компјутери, ги пронајдоа првите 10 или така наречени трилиони цифри на Пи, иако за повеќето апликации, ние се потребни само оние првите неколку бројки за добивање на  доволно прецизни резултати.


Ојлеров број - Број e


Ојлеров број “е“, е темелен за работа со експоненцијални функции. Експоненцијални функции претставуваат процеси кои се удвоени или треба да се преполоват во определен период на време.

Ако почнеме на пример со два зајаци, по еден месец ќе имам четири зајаци, по два месеци ќе имам осум зајаци, и по три месеци ќе имам 16 зајаци. Во принцип, по n месеци, јас ќе имам  2n + 1 зајаци, или 2 помножено со себе n + 1 пати.

Бројот “e“, е ирационален број, околу 2,71828 ..., но како и сите други ирационални броеви, децималното проширување продолжува засекогаш без шема на повторување. Пример  ex е природен експоненцијална функција, основа за било која друга експоненцијална функција.

Причината што ex е посебен е малку комплицирано. За оние од вас кои виделе анализа, вие знаете дека изводот на ех е ех.

Ова значи дека, за некоја посебна вредност на x дека ние го приклучуваме во ех, стапката со која функцијата се зголемува во тој момент е вредноста на функцијата. Пример за  x = 2, функцијата ех расти по стапка од E2. Оваа вредност е во основа единствена меѓу функциите, што прави со ех многу убаво математички да се работи.

Еx е корисно за работа со повеќето експоненцијални процеси. Еден од најчестите апликации е наоѓање на сложена камата што се додава постојано. Со почетниот принцип на P и годишна каматна стапка r, вредноста на инвестицијата А (t), по  години е дадена со формулата А= Pert.


Квадратен корен од -1: i


Како што спомнавме погоре  може да се земе квадратен корен од било кој позитивен број, па сега можеме да видиме што се случува со негативните броеви. Негативни броеви немаат квадратни корени во реалните броеви.

Множење на два негативни броеви заедно дава позитивен број, па така квадратен корен од кој било реален број резултира со позитивен број, така што не постои начин да се множи реалниот број сам од себе за да се добие негативен број.

Но, како што видовме претходно, кога сме соочени со очигледно ограничување како ова во бројниот систем, ние едноставно можеме да го прошириме системот на броеви и да се отстрани ограничувањето. А кога се соочуваме со ограничување дека немаме квадратен корен на -1, ние едноставно би се запрашале што ќе се случи ако го сторивме тоа.

Ние го дефинираме “i“ како имагинарната единица, за квадратен корен и со фрлање на сите други "броеви", треба да бидеме сигурни дека собирање, одземање, множење и делење има сѐ уште смисла, и ги прошируваме реалните броеви за да формираме комплексни броеви.


Комплексните броеви имаат многу неверојатни својства и апликации


Исто како што ние бевме во можност да ги претставиме реалните броеви во оска, може да ги претставиме и комплексните броеви во авион, со хоризонтална оска што подразбира вистински дел од бројот и на вертикалната оска, имагинарна компонента, како претставник на квадратен корен од некои негативни броеви.

Секоја полином равенка има најмалку едно решение со комплексни броеви, а резултатот е толку важен што математичарите го нарекуваат тоа “фундаментални теореми на алгебрата“.

Геометријата на комплексните авиони резултира со некои изненадувачки и елегантни резултати, а има многу апликации во физиката на електрична енергија и во електротехничкото инженерство.

Оригиналната статија беше објавена на Business Insider.